Sujet Mathématiques — Terminale — Antilles-Guyane — Bac 2016

Exercice 1 (6 points) Commun à tous les candidats Le plan est muni d’un repère orthonormal Pour tout entier naturel (cid:1866), on considère la fonction (cid:1858) définie et dérivable sur l’ensemble des (cid:3041) nombres réels R par (cid:1858) ((cid:1876)) = . (cid:3041) On désigne par  la courbe représentative de (cid:1858) dans le repère (cid:0)n (cid:3041) On a représenté ci-dessous les courbes  pour différentes valeurs de n. (cid:0)n (cid:2869) Soit la suite ((cid:1873) ) définie pour tout entier naturel n par : (cid:1873) = (cid:1516) (cid:1858) ((cid:1876)) d(cid:1876). (cid:3041) (cid:3041) (cid:2868) (cid:3041) Partie A – Étude graphique 1. Donner une interprétation graphique de (cid:1873) . (cid:3041) 2. Quelles conjectures peut-on faire concernant les variations et la convergence de la suite ((cid:1873) ) ? (cid:3041) 3. Proposer, à l’aide du graphique et en expliquant la démarche, un encadrement de (cid:1873) d’amplitude 0,05. (cid:2872) 16MASSAG3 Page : 2/6 Partie B – Étude théorique 1. Montrer que (cid:1873) = ln(cid:4672) (cid:4673). (cid:2868) (cid:2870) 2. Montrer que (cid:1873) +(cid:1873) = 1 puis en déduire (cid:1873) . (cid:2868) (cid:2869) (cid:2869) 3. Montrer que, pour tout entier naturel (cid:1866), (cid:1873) ≥ 0. (cid:3041) 4. On pose pour tout entier naturel (cid:1866) et pour tout (cid:1876) réel, (cid:1856) ((cid:1876)) = (cid:1858) ((cid:1876))−(cid:1858) ((cid:1876)) . (cid:3041) (cid:3041) a. Montrer que, pour tout nombre réel (cid:1876), (cid:1856) ((cid:1876)) = . (cid:3041) b. Étudier le signe de la fonction (cid:1856) sur l’intervalle [0 ;1]. (cid:3041) 5. En déduire que la suite ((cid:1873) ) est convergente. (cid:3041) 6. On note ℓ la limite de la suite ((cid:1873) ). (cid:3041) a. Montrer que, pour tout entier (cid:1866) supérieur ou égal à 1, on a : (cid:1873) +(cid:1873) = . (cid:3041) (cid:3041) b. En déduire la valeur de ℓ. c. On souhaite construire un algorithme qui affiche la valeur de u pour un entier N naturel N non nul donné. Recopier et compléter les quatre lignes de la partie Traitement de l’algorithme suivant. Entrée : N est un entier naturel non nul Variables : U est un nombre réel K est un entier naturel Initialisation : Affecter 1 à K Affecter 1−ln(cid:4672) (cid:4673) à U (cid:2870) Demander à l’utilisateur la valeur de N Traitement : Tant que K < N Affecter ………………….. à U Affecter ………………….. à K Fin Tant que Sortie : Afficher U 16MASSAG3 Page : 3/6 Exercice 2 (5 points) Commun à tous les candidats On considère un cube