Sujet Mathématiques — Terminale — Métropole — Bac 2018

Exercice 1 (6 points) Commun à tous les candidats Dans cet exercice, on munit le plan d’un repère orthonormé. On a représenté ci-dessous la courbe d’équation : (cid:1) (cid:2) (cid:3) (cid:5)e(cid:7) (cid:8)e(cid:9)(cid:7) (cid:10)2(cid:12) . (cid:4) Cette courbe est appelée une « chaînette ». On s’intéresse ici aux « arcs de chaînette » délimités par deux points de cette courbe symétriques par rapport à l’axe des ordonnées. Un tel arc est représenté sur le graphique ci-dessous en trait plein. On définit la « largeur » et la « hauteur » de l’arc de chaînette délimité par les points et (cid:13) (cid:13)′ comme indiqué sur le graphique. Le but de l’exercice est d’étudier les positions possibles sur la courbe du point d’abscisse (cid:13) (cid:15) strictement positive afin que la largeur de l’arc de chaînette soit égale à sa hauteur. 1. Justifier que le problème étudié se ramène à la recherche des solutions strictement positives de l’équation (cid:5)(cid:16)(cid:12) ∶ e(cid:7) (cid:8)e(cid:9)(cid:7) (cid:10)4(cid:15) (cid:10)2 (cid:2) 0 . 2. On note la fonction définie sur l’intervalle par : (cid:21) (cid:22)0 ; (cid:8)∞(cid:22) (cid:2) e(cid:7) (cid:8)e(cid:9)(cid:7) (cid:10)4(cid:15) (cid:10)2. a. Vérifier que pour tout (cid:15) (cid:26) 0 , (cid:2) (cid:15)(cid:27) (cid:28)(cid:29) (cid:10)2 . (cid:7) b. Déterminer . lim (cid:7)→#$ 3. a. On note (cid:21)′ la fonction dérivée de la fonction (cid:21) . Calculer , où (cid:15) appartient à l’intervalle . (cid:22)0 ; (cid:8)∞(cid:22) b. Montrer que l’équation (cid:2) 0 équivaut à l’équation : (cid:10)4e(cid:7) (cid:10)1 (cid:2) 0 . c. En posant ' (cid:2) e(cid:7), montrer que l’équation (cid:2) 0 admet pour unique solution réelle le nombre . 4. On donne ci-dessous le tableau de signes de la fonction dérivée de : (cid:21)′ (cid:21) (cid:15) 0 ln (cid:8)∞ (cid:10) 0 (cid:8) a. Dresser le tableau de variations de la fonction . (cid:21) b. Démontrer que l’équation admet une unique solution strictement positive (cid:2) 0 que l’on notera . + 18MASSMLR1 Page 2 sur 8 5. On considère l’algorithme suivant où les variables , et sont des nombres réels : , - . Tant que faire : -(cid:10), (cid:26) 0,1 1#2 . ← (cid:4) Si e3 (cid:8)e(cid:9)3 (cid:10)4. (cid:10)2 (cid:26) 0 , alors : - ← . Sinon : , ← . Fin Si Fin Tant que a. Avant l’exécution de cet algorithme, les variables et , - 5 6 7 7(cid:10)6 contiennent respectivement les valeurs et . 8 9 : 2 3 Que contiennent-elles à la fin de