Exercice 1 (6 points) Commun à tous les candidats Soient et les fonctions définies sur par 𝑓 𝑔 ]0;+∞[ et −𝑥 𝑓(𝑥) = e 1 1 − 𝑥 𝑔(𝑥) = 2e . On admet que et sont dérivables sur 𝑥 . On note et leurs fonctions dérivées respectives. 𝑓 𝑔
Exercice 1 (6 points) Commun à tous les candidats Soient et les fonctions définies sur par 𝑓 𝑔 ]0;+∞[ et −𝑥 𝑓(𝑥) = e 1 1 − 𝑥 𝑔(𝑥) = 2e . On admet que et sont dérivables sur 𝑥 . On note et leurs fonctions dérivées respectives. 𝑓 𝑔 ]0;+∞[ 𝑓′ 𝑔’ Les représentations graphiques de et dans un repère orthogonal, nommées respectivement et , sont données ci-dessous : 𝑓 𝑔 𝒞𝑓 𝒞𝑔 Partie A - Conjectures graphiques Dans chacune des questions de cette partie, aucune justification n’est demandée. 1. Conjecturer graphiquement une solution de l’équation sur . 2. Conjecturer graphiquement une solution de l’équation 𝑓(𝑥) = 𝑔( 𝑥su)r ]0;+∞. [ ′ 𝑔 (𝑥) = 0 ]0;+∞[ 18MASSNC1 Page : 2/7 Partie B - Étude de la fonction 1. Calculer la limite de qu𝒈and tend vers . 2. On admet que la fonc𝑔ti(o𝑥n) est str𝑥ictement po+si∞tive sur . 𝑔 ]0;+∞[ Soit la fonction définie sur par . ℎ ]0;+∞[ ℎ(𝑥) = ln�𝑔(𝑥)� a. Démontrer que, pour tout nombre réel strictement positif, 𝑥 −1−2𝑥ln𝑥 ℎ(𝑥) = b. Calculer la limite de quand tend ver𝑥s . c. En déduire la limite dℎe( 𝑥) quan𝑥d tend ve0rs . 3. Démontrer que, pour tout nombre 𝑔ré(e𝑥l) stricte𝑥ment positif0, 𝑥 1 − 𝑥 ′ e (1−2𝑥) 𝑔 (𝑥) = 4 4. En déduire les variations de la fonction sur 𝑥 . 𝑔 ]0;+∞[ Partie C - Aire des deux domaines compris entre les courbes et 𝓒𝒇 𝓒𝒈 1. Démontrer que le point de coordonnées est un point d’intersection de et . −1 A (1;e ) 𝒞𝑓 𝒞𝑔 On admet que ce point est l’unique point d’intersection de et , et que est au- dessus de sur l’intervalle et en dessous sur l’intervalle . 𝒞𝑓 𝒞𝑔 𝒞𝑓 𝒞𝑔 ]0;1[ ]1;+∞[ 2. Soient et deux réels strictement positifs. Démontrer que 𝑎 𝑏 𝑏 1 1 −𝑎 − 𝑎 −𝑏 − 𝑏 � �𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)�d𝑥 = e +e −e −e 𝑎 3. Démontrer que 1 −1 𝑎li→m0� �𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)�d𝑥 = 1−2e 𝑎 4. On admet que 1 𝑏 𝑎li→m0� �𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)�d𝑥 = 𝑏l→im+∞� �𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)�d𝑥 𝑎 1 Interpréter graphiquement cette égalité. 18MASSNC1 Page : 3/7 Exercice 2 (3 points) Commun à tous les candidats Une épreuve de culture générale consiste en un questionnaire à choix multiple (QCM) de vingt questions. Pour chacune d’entre elles, le sujet propose quatre réponses possibles, dont une seule est correcte. À chaque question, le candidat ou