Sujet Mathématiques — Terminale — Antilles-Guyane — Bac 2019

Exercice 1 (6 points) Commun à tous les candidats Partie A Soit et des nombres réels. On considère une fonction définie sur par 𝑎 𝑏 𝑓 [0 ;+∞[ 𝑎 La courbe représentant la fonctio𝑓n(𝑥 ) d=ans un− 𝑏re𝑥 père orthogonal est donnée 1+e ci-dessous. 𝐶𝑓 𝑓 La courbe passe par le point . La tangente à la courbe au point passe par le point . 𝐶𝑓 A(0 ;0,5) 𝐶𝑓 A B(10 ;1) 1. Justifier que . On obtient al𝑎or=s, 1pour tout réel , 𝑥 ≥ 0 1 𝑓(𝑥) = −𝑏𝑥 2. On admet que la fonction est dérivab1le+ seur et on note sa fonction dérivée. Vérifier que, pour tout réel𝑓 , [0 ;+∞[ 𝑓′ 𝑥 ≥ 0 −𝑏𝑥 ′ 𝑏e 𝑓 (𝑥) = −𝑏𝑥 3. En utilisant les données de l’énoncé, d(1ét+eremine)r² . 𝑏 19MASSAG1 Page : 2/8 Partie B La proportion d’individus qui possèdent un certain type d’équipement dans une population est modélisée par la fonction définie sur par 𝑝 [0 ;+∞[ 1 Le réel représente le temps écou𝑝l(é𝑥,) e=n année−0, ,2d𝑥e puis le er janvier . 1+e Le nombre modélise la proportion d’individus équipés après années. Ainsi, p𝑥our ce modèle, est la proportion d’individus é1quipés au 20e0r 0janvier et es𝑝t (la𝑥 )p roportion d’individus équipés au milieu de l’année𝑥 . 𝑝(0) 1 2000 𝑝1(.3 ,5Q)uelle est, pour ce modèle, la proportion d’individus équipés2 0a0u3 er janvier ? On en donnera une valeur arrondie au centième. 1 2. 2 010 a. Déterminer le sens de variation de la fonction sur . b. Calculer la limite de la fonction en . 𝑝 [0 ;+∞[ c. Interpréter cette limite dans le contexte de l’exercice. 𝑝 +∞ 3. On considère que, lorsque la proportion d’individus équipés dépasse , le marché est saturé. Déterminer, en expliquant la démarche, l’année au cours de laquelle c9e5l a% se produit. 4. On définit la proportion moyenne d’individus équipés entre et par 2008 2010 10 1 a. Vérifier que, pour tout ré𝑚el= �, 𝑝(𝑥) d𝑥 2 8 𝑥 ≥ 0 0,2𝑥 e b. En déduire une primitive de 𝑝la ( 𝑥fo ) n=ction 0 s ,2 u 𝑥 r . 1+e c. Déterminer la valeur exacte de et son arrondi au centième. 𝑝 [0 ;+∞[ 𝑚 19MASSAG1 Page : 3/8 Exercice 2 (5 points) Commun à tous les candidats Les deux parties de cet exercice sont indépendantes. Alex et Élisa, deux pilotes de drones, s’entraînent sur un