Sujet Mathématiques — Terminale — Asie — Bac 2019

Exercice 1 - Pour tous les candidats (6 points) La loi de refroidissement de Newton stipule que le taux d’évolution de la température d’un corps est proportionnel à la différence entre la température de ce corps et celle du milieu environnant. Une tasse de café est servie à une température initiale de 80° C dans un milieu dont la température, exprimée en degré Celsius, supposée constante, est notée M. Le but de cet exercice est d’étudier le refroidissement du café en appliquant la loi de Newton suivant deux modèles. L’un, dans la partie A, utilise une suite ; l’autre, dans la partie B, utilise une fonction. Les parties A et B sont indépendantes. Partie A Dans cette partie, pour tout entier naturel n, on note T la température du café à l’instant n, avec T n n exprimé en degré Celsius et n en minute. On a ainsi T =80. 0 On modélise la loi de Newton entre deux minutes consécutifs quelconques n et n+1 par l’égalité : T −T =k(T −M) n+1 n n où k est une constante réelle. Dans la suite de la partie A, on choisit M =10 et k =−0,2. Ainsi, pour tout entier naturel n, on a : T −T =−0,2(T −10). n+1 n n 1. D’après le contexte, peut-on conjecturer le sens de variations de la suite (T )? n 2. Montrer que pour tout entier naturel n : T =0,8T +2. n+1 n 3. On pose, pour tout entier naturel n : u =T −10. n n a) Montrer que (u ) est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme u . n 0 b) Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : T =70×0,8n +10. n c) Déterminer la limite de la suite (T ). n 4. On considère l’algorithme suivant : Tant que T ≥40 T ←0,8T +2 n←n+1 Fin Tant que a) Au début, on affecte la valeur 80 à la variable T et la valeur 0 à la variable n. Quelle valeur numérique contient la variable n à la fin de l’exécution de l’algorithme ? b) Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice. Partie B Dans cette partie, pour tout réel t positif ou nul, on note θ(t) la température du café à l’instant t, avec θ(t) exprimé en degré Celsius et t en minute. On a ainsi θ(0)=80. Dans ce modèle,