Sujet Mathématiques — Terminale — Amérique du Nord — Bac 2021

Exercice 1 commun à tous les candidats (5 points) Les probabilités demandées dans cet exercice seront arrondies à 10. Un laboratoire pharmaceutique vient d’élaborer un nouveau test anti-dopage. Partie A Une étude sur ce nouveau test donne les résultats suivants : • si un athlète est dopé, la probabilité que le résultat du test soit positif est 0,98 (sensibilité du test) ; • si un athlète n’est pas dopé, la probabilité que le résultat du test soit négatif est 0,995 (spécificité du test). On fait subir le test à un athlète sélectionné au hasard au sein des participants à une compétition d’athlétisme. On note 퐷 l’événement « l’athlète est dopé » et 푇 l’événement « le test est positif ». On admet que la probabilité de l’événement 퐷 est égale à 0,08. 1. Traduire la situation sous la forme d’un arbre pondéré. 2. Démontrer que 푃푇0,083. 3. a. Sachant qu’un athlète présente un test positif, quelle est la probabilité qu’il soit dopé ? b. Le laboratoire décide de commercialiser le test si la probabilité de l’événement « un athlète présentant un test positif est dopé » est supérieure ou égale à 0,95. Le test proposé par le laboratoire sera-t-il commercialisé ? Justifier. Partie B Dans une compétition sportive, on admet que la probabilité qu’un athlète contrôlé présente un test positif est 0,103. 1. Dans cette question 1., on suppose que les organisateurs décident de contrôler 5 athlètes au hasard parmi les athlètes de cette compétition. On note 푋 la variable aléatoire égale au nombre d’athlètes présentant un test positif parmi les 5 athlètes contrôlés. a. Donner la loi suivie par la variable aléatoire 푋. Préciser ses paramètres. b. Calculer l’espérance 퐸푋 et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice. c. Quelle est la probabilité qu’au moins un des 5 athlètes contrôlés présente un test positif ? 2. Combien d’athlètes faut-il contrôler au minimum pour que la probabilité de l’événement « au moins un athlète contrôlé présente un test positif » soit supérieure ou égale à 0,75 ? Justifier. 21-MATJ1AN1 Page : 2/6 Exercice 2 commun à tous les candidats (5 points) Un biologiste s’intéresse à l’évolution de la population d’une espèce animale sur une île du Pacifique. Au début de l’année 2020, cette population comptait 600 individus. On considère que l’espèce sera menacée d’extinction sur cette île si sa population devient inférieure ou égale à 20 individus. Le biologiste