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EXERCICE 1 commun `a tous les candidats (5 points) En 2020, une influenceuse sur les r´eseaux sociaux compte 1000 abonn´es `a son profil. On mod´elise le nombre d’abonn´es ainsi : chaque ann´ee, elle perd 10% de ses abonn´es auxquels s’ajoutent 250 nouveaux abonn´es. Pourtout entier naturel n, onnoteu lenombre d’abonn´es`a
EXERCICE 1 commun `a tous les candidats (5 points) En 2020, une influenceuse sur les r´eseaux sociaux compte 1000 abonn´es `a son profil. On mod´elise le nombre d’abonn´es ainsi : chaque ann´ee, elle perd 10% de ses abonn´es auxquels s’ajoutent 250 nouveaux abonn´es. Pourtout entier naturel n, onnoteu lenombre d’abonn´es`a son profil en l’ann´ee(2020+n),suivant n cette mod´elisation. Ainsi u = 1000. 0 1. Calculer u . 1 2. Justifier que pour tout entier naturel n, u = 0,9u +250. n+1 n « » 3. La fonction Python nomm´ee suite est d´efinie ci-dessous. Dans le contexte de l’exercice, interpr´eter la valeur renvoy´ee par suite(10). def suite(n) : u=1000 for i in range(n) : u=0.9*u+250 return u 4. (a) Montrer, `a l’aide d’un raisonnement par r´ecurrence, que pour tout entier naturel n, u ≤ 2500. n (b) D´emontrer que la suite (u ) est croissante. n (c) D´eduire des questions pr´ec´edentes que la suite (u ) est convergente. n 5. Soit (v ) la suite d´efinie par v = u −2500 pour tout entier naturel n. n n n (a) Montrer que la suite (v ) est une suite g´eom´etrique de raison 0,9 et de terme initial n v = −1500. 0 (b) Pour tout entier naturel n, exprimer v en fonction de n et montrer que : n u = −1500×0,9n +2500. n (c) D´eterminer la limite de la suite (u ) et interpr´eter dans le contexte de l’exercice. n 6. E´crire un programmequi permet de d´eterminer en quelle ann´ee le nombre d’abonn´esd´epassera 2200. D´eterminer cette ann´ee. 21MATJ1JA1 2/6 EXERCICE 2 commun `a tous les candidats (5 points) On consid`ere un cube ABCDEFGH d’arˆete 8 cm et de centre Ω. −→ −→ −→ −→ −→ −→ Les points P, Q et R sont d´efinis par AP = 3AB, AQ = 3AE et FR = 1FG. 4 4 4 −→ −→ −→ −−→ −→ −→ On se place dans le rep`ere orthonorm´e (A,~i,~j, ~ k) avec i = 1AB , j = 1AD et k = 1AE. 8 8 8 E H F R Q b b G b Ω ~ k ~i ~j A P D b B Partie I C 1. Dans ce rep`ere, on admet que les coordonn´ees du point R sont (8;2;8). Donner les coordonn´ees des points P et Q. 2. Montrer que le vecteur ~n(1;−5;1) est un vecteur normal au plan (PQR). 3. Justifier qu’une ´equation cart´esienne