Sujet Mathématiques — Terminale — Métropole — Bac 2021

Exercice 1, commun à tous les candidats (4 points) Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Soit 𝑓 la fonction définie pour tout nombre réel 𝑥 de l’intervalle ]0;+∞[ par : e2𝑥 𝑓 (𝑥) = . 𝑥 On donne l’expression de la dérivée seconde 𝑓′′de 𝑓, définie sur l’intervalle ]0;+∞[ par : 2 e 2𝑥 (2𝑥2−2𝑥+1) 𝑓′′(𝑥) = . 𝑥3 1. La fonction 𝑓′, dérivée de 𝑓, est définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par : e2𝑥(𝑥−1) a. 𝑓′(𝑥) = 2e2𝑥 b. 𝑓′(𝑥) = 𝑥2 e2𝑥(2𝑥−1) e2𝑥(1+2𝑥) c. 𝑓′(𝑥) = d. 𝑓′(𝑥) = 𝑥2 𝑥2 2. La fonction 𝑓 : a. est décroissante sur ]0 ;+∞[ b. est monotone sur ]0 ;+∞[ 1 1 c. admet un minimum en d. admet un maximum en 2 2 3. La fonction 𝑓 admet pour limite en +∞ : a. +∞ b. 0 c. 1 d. e2𝑥 4. La fonction 𝑓 : a. est concave sur ]0 ;+∞[ b. est convexe sur ]0 ;+∞[ 1 c. est concave sur ]0 ; ] d. est représentée par une courbe 2 admettant un point d’inflexion 21-MATJ1ME2 Page 2 / 7 Exercice 2, commun à tous les candidats (5 points) Une chaîne de fabrication produit des pièces mécaniques. On estime que 5 % des pièces produites par cette chaîne sont défectueuses. Un ingénieur a mis au point un test à appliquer aux pièces. Ce test a deux résultats possibles : « positif » ou bien « négatif ». On applique ce test à une pièce choisie au hasard dans la production de la chaîne. On note 𝑝(𝐸) la probabilité d’un événement 𝐸. On considère les événements suivants : • 𝐷 : « la pièce est défectueuse » ; • 𝑇 : « la pièce présente un test positif » ; • 𝐷̅ et 𝑇̅ désignent respectivement les évènements contraires de 𝐷 et 𝑇. Compte tenu des caractéristiques du test, on sait que : • La probabilité qu’une pièce présente un test positif sachant qu’elle défectueuse est égale à 0,98 ; • La probabilité qu’une pièce présente