Sujet Mathématiques — Terminale — Polynésie — Bac 2021

EXERCICE 1 commun à tous les candidats (5 points) On considère la suite (𝑢 ) définie par 𝑢 = 10 000 et pour tout entier naturel 𝑛 : 𝑛 0 𝑢 = 0,95 𝑢 +200. 𝑛+1 𝑛 1. Calculer 𝑢 et vérifier que 𝑢 = 9 415. 1 2 2. a. Démontrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel 𝑛 : 𝑢 > 4 000. 𝑛 b. On admet que la suite (𝑢 ) est décroissante. Justifier qu’elle converge. 𝑛 3. Pour tout entier naturel 𝑛, on considère la suite (𝑣 ) définie par : 𝑣 = 𝑢 −4 000. 𝑛 𝑛 𝑛 a. Calculer 𝑣 . 0 b. Démontrer que la suite (𝑣 ) est géométrique de raison égale à 0,95. 𝑛 c. En déduire que pour tout entier naturel 𝑛 : 𝑢 = 4 000+6 000×0,95𝑛. 𝑛 d. Quelle est la limite de la suite (𝑢 ) ? Justifier la réponse. 𝑛 4. En 2020, une espèce animale comptait 10 000 individus. L’évolution observée les années précédentes conduit à estimer qu’à partir de l’année 2021, cette population baissera de 5 % chaque début d’année. Pour ralentir cette baisse, il a été décidé de réintroduire 200 individus à la fin de chaque année, à partir de 2021. Une responsable d’une association soutenant cette stratégie affirme que : « l’espèce ne devrait pas s’éteindre, mais malheureusement, nous n’empêcherons pas une disparition de plus de la moitié de la population ». Que pensez-vous de cette affirmation ? Justifier la réponse. 21-MATJ2PO1 Page 2 / 9 EXERCICE 2 commun à tous les candidats (5 points) Un test est mis au point pour détecter une maladie dans un pays. Selon les autorités sanitaires de ce pays, 7 % des habitants sont infectés par cette maladie. Parmi les individus infectés, 20 % sont déclarés négatifs. Parmi les individus sains, 1 % sont déclarés positifs. Une personne est choisie au hasard dans la population. On note :  M l’évènement : « la personne est infectée par la maladie » ;  T l’évènement : « le test est positif ». 1. Construire un arbre pondéré modélisant la situation proposée. 2. a. Quelle est la probabilité pour que la personne soit infectée par la maladie et que son test soit positif ? b. Montrer que la probabilité que son test soit positif est de 0,0653. 3. On sait que le test