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EXERCICE 1 (7 points) Principaux domaines abord´es : Probabilit´es conditionnelles et ind´ependance. Variables al´eatoires. Lors d’une kermesse, un organisateur de jeux dispose, d’une part, d’une roue comportant quatre cases blanches et huit cases rouges et, d’autre part, d’un sac contenant cinq jetons portant les num´eros 1, 2, 3, 4 et
EXERCICE 1 (7 points) Principaux domaines abord´es : Probabilit´es conditionnelles et ind´ependance. Variables al´eatoires. Lors d’une kermesse, un organisateur de jeux dispose, d’une part, d’une roue comportant quatre cases blanches et huit cases rouges et, d’autre part, d’un sac contenant cinq jetons portant les num´eros 1, 2, 3, 4 et 5. Le jeu consiste `a faire tourner la roue, chaque case ayant la mˆeme probabilit´e d’ˆetre obtenue, puis `a extraire un ou deux jetons du sac selon la r`egle suivante : • si la case obtenue par la roue est blanche, alors le joueur extrait un jeton du sac; • si la case obtenue par la roue est rouge, alors le joueur extrait successivement et sans remise deux jetons du sac. Le joueur gagne si le ou les jetons tir´es portent tous un num´ero impair. 1. Un joueur fait une partie et on note B l’´ev´enement « la case obtenue est blanche » , R l’´ev´enement « la case obtenue est rouge » et G l’´ev´enement « le joueur gagne la partie » . (a) Donner la valeur de la probabilit´e conditionnelle P (G). B (b) On admettra que la probabilit´e de tirer successivement et sans remise deux jetons impairs est ´egale `a 0,3. Recopier et compl´eter l’arbre de probabilit´e suivant : G B G G R G 2. (a) Montrer que P(G) = 0,4. (b) Un joueur gagne la partie. Quelle est la probabilit´e qu’il ait obtenu une case blanche en lan¸cant la roue? 3. Les ´ev´enements B et G sont-ils ind´ependants? Justifier. 22MATJ1JA1 2/9 4. Un mˆeme joueur fait dix parties. Les jetons tir´es sont remis dans le sac apr`es chaque partie. On note X la variable al´eatoire ´egale au nombre de parties gagn´ees. (a) Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale et pr´eciser ses param`etres. (b) Calculer la probabilit´e, arrondie `a 10 −3 pr`es, que le joueur gagne exactement trois parties sur les dix parties jou´ees. (c) Calculer P (X ≥ 4) arrondie `a 10 −3 pr`es. Donner une interpr´etation du r´esultat obtenu. 5. Un joueur fait n parties et on note p la probabilit´e de l’´ev´enement « le joueur gagne au moins n » une partie . (a) Montrer que p = 1−0,6n. n (b) D´eterminer la plus petite valeur de l’entier n pour laquelle la probabilit´e de gagner au moins une partie est sup´erieure ou ´egale `a 0,99. 22MATJ1JA1 3/9 EXERCICE 2 (7 points) Principaux