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EXERCICE 1 (7 points) Principaux domaines abord´es : Manipulation des vecteurs, des droites et des plans de l’espace. Orthogonalit´e et distances dans l’espace. Repr´esentations param´etriques et ´equations cart´esiennes. Dans un rep`ere orthonorm´e O; ~i ,~j , ~ k de l’espace, (cid:16) (cid:17) onconsid`erelespointsA( 3 ; 1 ; 3),B(2 ; 2
EXERCICE 1 (7 points) Principaux domaines abord´es : Manipulation des vecteurs, des droites et des plans de l’espace. Orthogonalit´e et distances dans l’espace. Repr´esentations param´etriques et ´equations cart´esiennes. Dans un rep`ere orthonorm´e O; ~i ,~j , ~ k de l’espace, (cid:16) (cid:17) onconsid`erelespointsA( 3 ; 1 ; 3),B(2 ; 2 ; 3),C(1 ; 7 ; 1),D( 4 ; 6 ; 1)etK( 3 ; 14 ; 14). − − − − − 1. (a) Calculer les coordonn´ees des vecteurs −A→B, −D→C et −A→D. (b) Montrer que le quadrilat`ere ABCD est un rectangle. (c) Calculer l’aire du rectangle ABCD. 2. (a) Justifier que les points A, B et D d´efinissent un plan. (b) Montrer que le vecteur ~n( 2 ; 10 ; 13) est un vecteur normal au plan (ABD). − (c) En d´eduire une ´equation cart´esienne du plan (ABD). 3. (a) Donner une repr´esentation param´etrique de la droite ∆ orthogonale au plan (ABD) et qui passe par le point K. (b) D´eterminer les coordonn´ees du point I, projet´e orthogonal du point K sur le plan (ABD). (c) Montrer que la hauteur de la pyramide KABCD de base ABCD et de sommet K vaut √273. 4. Calculer le volume V de la pyramide KABCD. On rappelle que le volume V d’une pyramide est donn´e par la formule : 1 V = aire de la base hauteur. 3 × × 22MATJ2JA1 2/8 EXERCICE 2 (7 points) Principaux domaines abord´es : E´tude des fonctions. Fonction logarithme. Partie A Dans le rep`ere orthonorm´e ci-dessus, sont trac´ees les courbes repr´esentatives d’une fonction f et de sa fonction d´eriv´ee, not´ee f′ , toutes deux d´efinies sur ]3;+ [. ∞ 1. Associer `a chaque courbe la fonction qu’elle repr´esente. Justifier. 2. D´eterminer graphiquement la ou les solutions ´eventuelles de l’´equation f(x) = 3. 3. Indiquer, par lecture graphique, la convexit´e de la fonction f. 22MATJ2JA1 3/8 Partie B 1. Justifier que la quantit´e ln(x2 x 6) est bien d´efinie pour les valeurs x de l’intervalle − − ]3;+ [, que l’on nommera I dans la suite. ∞ 2. On admet que la fonction f de la Partie A est d´efinie par f(x) = ln(x2 x 6) sur I. − − Calculer les limites de la fonction f aux deux bornes de l’intervalle I. En d´eduire une ´equation d’une asymptote `a la courbe repr´esentative de la fonction f sur I. 3. (a) Calculer f′ (x) pour tout x appartenant