Sujet Mathématiques — Terminale — Métropole — Bac 2022

Exercice 1 (7 points) Thèmes : fonction exponentielle, suites. Dans le cadre d’un essai clinique, on envisage deux protocoles de traitement d’une maladie. L’objectif decet exercice est d’étudier, pour ces deux protocoles, l’évolution de la quantité de médicament présente dans le sang d’un patient en fonction du temps. Les parties A et B sont indépendantes. Partie A : Etude du premier protocole Le premier protocole consiste à faire absorber un médicament, sous forme de comprimé, au patient. On modélise la quantité de médicament présente dans le sang du patient, exprimée en mg, par la fonction 𝑓 définie sur l’intervalle [0;10] par 𝑓(𝑡) = 3𝑡𝑒−0,5𝑡+1, où 𝑡 désigne le temps, exprimé en heure, écoulé depuis la prise du comprimé. 1. a. On admet que la fonction 𝑓 est dérivable sur l’intervalle [0;10] et on note 𝑓′ sa fonction dérivée. Montrer que, pour tout nombre réel 𝑡 de [0;10], on a : 𝑓′(𝑡) = 3(−0,5𝑡+1)𝑒−0,5𝑡+1. b. En déduire le tableau de variations de la fonction 𝑓 sur l’intervalle [0;10]. c. Selon cette modélisation, au bout de combien de temps la quantité de médicament présente dans le sang du patient sera-t-elle maximale ? Quelle est alors cette quantité maximale ? 2. a. Montrer que l’équation 𝑓(𝑡) = 5 admet une unique solution sur l’intervalle [0;2], notée 𝛼, dont on donnera une valeur approchée à 10−2 près. On admet que l’équation 𝑓(𝑡) = 5 admet une unique solution sur l’intervalle [2;10], notée 𝛽, et qu’une valeur approchée de 𝛽 à 10−2 près est 3,46. b. On considère que ce traitement est efficace lorsque la quantité de médicament présente dans le sang du patient est supérieure ou égale à 5 mg. Déterminer, à la minute près, la durée d’efficacité du médicament dans le cas de ce protocole. Partie B : Etude du deuxième protocole Le deuxième protocole consiste à injecter initialement au patient, par piqûre intraveineuse, une dose de 2 mg de médicament puis à réinjecter toutes les heures une dose de 1,8 mg. On suppose que le médicament se diffuse instantanément dans le sang et qu’il est ensuite progressivement éliminé. On estime que lorsqu’une heure s’est écoulée après une injection, la quantité de médicament dans le sang a diminué de 30 % par rapport à la quantité présente immédiatement après cette injection. On modélise cette situation à l’aide de la suite (𝑢 ) où, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢 désigne la 𝑛 𝑛