Sujet Mathématiques — Terminale — Métropole — Bac 2022

EXERCICE 1 (7 points) Principaux domaines abordés : Fonctions, Fonction logarithme ; Convexité. On considère la fonction 𝑓 définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par 𝑓(𝑥) = 𝑥2 −6𝑥 +4ln(𝑥) . On admet que la fonction 𝑓 est deux fois dérivable sur l’intervalle ]0 ;+∞[ . On note 𝑓′ sa dérivée et 𝑓′′ sa dérivée seconde. On note 𝒞 la courbe représentative de la fonction 𝑓 dans un repère orthogonal. 𝑓 1. a. Déterminer lim 𝑓(𝑥). Interpréter graphiquement ce résultat. 𝑥→0 b. Déterminer lim 𝑓(𝑥). 𝑥→+∞ 2. a. Déterminer 𝑓′(𝑥) pour tout réel 𝑥 appartenant à ]0 ;+∞[. b. Étudier le signe de 𝑓′(𝑥) sur l’intervalle ]0 ;+∞[ . En déduire le tableau de variations de 𝑓. 3. Montrer que l’équation 𝑓(𝑥) = 0 admet une unique solution dans l’intervalle [4;5]. 4. On admet que, pour tout 𝑥 de ]0 ;+∞[, on a : 2𝑥2 −4 𝑓′′(𝑥) = . 𝑥2 a. Étudier la convexité de la fonction 𝑓 sur ]0 ;+∞[. On précisera les valeurs exactes des coordonnées des éventuels points d’inflexion de 𝒞 . 𝑓 b. On note A le point de coordonnées (√2 ;𝑓(√2)). Soit 𝑡 un réel strictement positif tel que 𝑡 ≠ √2. Soit M le point de coordonnées (𝑡 ;𝑓(𝑡)). En utilisant la question 4.a, indiquer, selon la valeur de 𝑡, les positions relatives du segment [AM] et de la courbe 𝒞 . 𝑓 22-MATJ1NC1 Page : 2/6 EXERCICE 2 (7 points) Principaux domaines abordés : Suites ; Fonctions, Fonction exponentielle. On considère la fonction 𝑓 définie sur R par 𝑓(𝑥) = 𝑥3e𝑥. On admet que la fonction 𝑓 est dérivable sur R et on note 𝑓′ sa fonction dérivée. 1. On définit la suite (𝑢 ) par 𝑢 = −1 et, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑛 0 𝑢 = 𝑓(𝑢 ) . 𝑛+1 𝑛 a. Calculer 𝑢 puis 𝑢 . 1 2 On donnera les valeurs exactes puis les valeurs approchées à 10−3. b. On considère la fonction fonc, écrite en langage Python ci-dessous. def fonc(n): On rappelle qu’en langage u=-1 Python, « i in range(n)» for i in range(n): u=u**3*exp(u) signifie que i varie de 0 à n-1. return u Déterminer, sans justifier, la valeur renvoyée par fonc(2) arrondie à 10−3. 2. a. Démontrer que, pour tout 𝑥 réel, on a 𝑓′(𝑥) = 𝑥2e𝑥(𝑥+3) . b. Justifier que le tableau de variations de 𝑓 sur R est celui représenté ci-dessous : 𝑥 −∞