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EXERCICE 1 (5 points) Partie A On considère la fonction 𝑓 définie sur l’intervalle ]0;+∞[ par : 𝑓(𝑥) = 1+𝑥2 −2𝑥²ln(𝑥). On admet que 𝑓 est dérivable sur l’intervalle ]0;+∞[ et on note 𝑓 ′ sa fonction dérivée. 1. Justifier que lim 𝑓(𝑥) = 1 et, en remarquant que 𝑓(𝑥)
EXERCICE 1 (5 points) Partie A On considère la fonction 𝑓 définie sur l’intervalle ]0;+∞[ par : 𝑓(𝑥) = 1+𝑥2 −2𝑥²ln(𝑥). On admet que 𝑓 est dérivable sur l’intervalle ]0;+∞[ et on note 𝑓 ′ sa fonction dérivée. 1. Justifier que lim 𝑓(𝑥) = 1 et, en remarquant que 𝑓(𝑥) = 1+𝑥²(1−2ln(𝑥)), justifier 𝑥⟶0 que lim 𝑓(𝑥) = −∞. 𝑥⟶+∞ 2. Montrer que pour tout réel 𝑥 de l’intervalle ]0;+∞[, 𝑓 ′(𝑥) = −4𝑥ln(𝑥). 3. Étudier le signe de 𝑓 ′(𝑥) sur l’intervalle ]0;+∞[, puis dresser le tableau de variations de la fonction 𝑓 sur l’intervalle ]0;+∞[. 4. Démontrer que l’équation 𝑓(𝑥) = 0 admet une unique solution 𝛼 dans l’intervalle [1 ; +∞[ et que 𝛼 ∈ [1 ;e]. On admet, dans la suite de l’exercice, que l’équation 𝑓(𝑥) = 0 n’admet pas de solution sur l’intervalle ]0 ;1]. 5. On donne la fonction ci-dessous écrite en Python. L’instruction from lycee import*permet d’accéder à la fonction ln. On écrit dans la console d’exécution : Parmi les quatre propositions ci-dessous, recopier celle affichée par l’instruction précédente ? Justifier votre réponse (on pourra procéder par élimination). Proposition A : (1.75, 1.9031250000000002) Proposition B : (1.85, 1.9031250000000002) Proposition C : (2.75, 2.9031250000000002) Proposition D : (2.85, 2.9031250000000002) 23-MATJ1AS1 2/7 Partie B ln(𝑥) On considère la fonction 𝑔 définie sur l’intervalle ]0;+∞[, par 𝑔(𝑥) = . 1+𝑥² On admet que 𝑔 est dérivable sur l’intervalle ]0;+∞[ et on note 𝑔 ′ sa fonction dérivée. On note 𝐶 la courbe représentative de la fonction 𝑔 dans le plan rapporté à un repère (O;𝑖⃗,𝑗⃗). 𝑔 𝑓(𝑥) 1. Démontrer que pour tout réel 𝑥 de l’intervalle ]0 ;+∞[, 𝑔 ′(𝑥) = . 𝑥(1+𝑥2)2 2. Démontrer que la fonction 𝑔 admet un maximum en 𝑥 = 𝛼. 1 On admet que 𝑔(𝛼) = . 2𝛼2 3. On note 𝑇 la tangente à 𝐶 au point d’abscisse 1 et on note 𝑇 la tangente à 𝐶 au point 1 𝑔 𝛼 𝑔 d’abscisse 𝛼. Déterminer, en fonction de 𝛼, les coordonnées du point d’intersection des droites 𝑇 et 𝑇 . 1 𝛼 23-MATJ1AS1 3/7 EXERCICE 2 (5 points) 1. Entre 1998 et 2020, en France, 18 221 965 accouchements ont été recensés, parmi lesquels 293 898 ont donné naissance à des jumeaux et 4 921 ont donné naissance à au moins trois enfants. a. Avec une précision de 0,1%, calculer parmi tous les accouchements recensés, le pourcentage d’accouchements