Sujet Mathématiques — Terminale — Métropole — Bac 2023

EXERCICE 1 (5 points) Une entreprise appelle des personnes par téléphone pour leur vendre un produit. - L’entreprise appelle chaque personne une première fois : • la probabilité que la personne ne décroche pas est égale à 0,6 ; • si la personne décroche, la probabilité qu’elle achète le produit est égale à 0,3. - Si la personne n’a pas décroché au premier appel, on procède à un second appel : • la probabilité que la personne ne décroche pas est égale à 0,3 ; • si la personne décroche, la probabilité qu’elle achète le produit est égale à 0,2. - Si une personne ne décroche pas au second appel, on cesse de la contacter. On choisit une personne au hasard et on considère les évènements suivants : D : « la personne décroche au premier appel » ; (cid:2869) D : « la personne décroche au deuxième appel » ; (cid:2870) A : « la personne achète le produit ». Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante. Partie A 1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-contre. 2. En utilisant l’arbre pondéré, montrer que la probabilité de l'évènement A est P(A) = 0,204. 3. On sait que la personne a acheté le produit. Quelle est la probabilité qu’elle ait décroché au premier appel ? Partie B On rappelle que, pour une personne donnée, la probabilité qu’elle achète le produit est égale à 0,204 . 1. On considère un échantillon aléatoire de 30 personnes. On note (cid:1850) la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes de l’échantillon qui achètent le produit. a. On admet que (cid:1850) suit une loi binomiale. Donner, sans justifier, ses paramètres. b. Déterminer la probabilité qu’exactement 6 personnes de l’échantillon achètent le produit. Arrondir le résultat au millième. c. Calculer l'espérance de la variable aléatoire (cid:1850). Interpréter le résultat. 2. Soit (cid:1866) un entier naturel non nul. On considère désormais un échantillon de (cid:1866) personnes. Déterminer la plus petite valeur de (cid:1866) telle que la probabilité qu'au moins l'une des personnes de l’échantillon achète le produit soit supérieure ou égale à 0,99. 23MATJ1LR1 Page : 2/5 EXERCICE 2 (5 points) On considère la fonction (cid:1858) définie sur ]0 ;+∞[ par : (cid:1858)((cid:1876)) = . On admet que la fonction (cid:1858) est deux fois dérivable sur ]0 ;+∞[. On note (cid:1858)(cid:4593) sa dérivée et (cid:1858)′′ sa dérivée seconde. On note (cid:2269) sa courbe représentative dans