Sujet Mathématiques — Terminale — Métropole — Bac 2023

EXERCICE 1 (5 points) Un commerçant vend deux types de matelas : matelas RESSORTS et matelas MOUSSE. On suppose que chaque client achète un seul matelas. On dispose des informations suivantes : • 20% des clients achètent un matelas RESSORTS. Parmi eux, 90% sont satisfaits de leur achat. • 82% des clients sont satisfaits de leur achat. Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante. Partie A On choisit au hasard un client et on note les évènements : • (cid:1844) : « le client achète un matelas RESSORTS », • (cid:1845) : « le client est satisfait de son achat ». On note (cid:1876) = (cid:1842) , où (cid:1842) désigne la probabilité de (cid:1845) sachant que (cid:1844) n’est (cid:3019) (cid:3019) pas réalisé. 1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci- contre décrivant la situation. 2. Démontrer que (cid:1876) = 0,8. 3. On choisit un client satisfait de son achat. Quelle est la probabilité qu’il ait acheté un matelas RESSORTS ? On arrondira le résultat à 10(cid:2879)(cid:2870) . Partie B 1. On choisit 5 clients au hasard. On considère la variable aléatoire (cid:1850) qui donne le nombre de clients satisfaits de leur achat parmi ces 5 clients. a. On admet que (cid:1850) suit une loi binomiale. Donner ses paramètres. b. Déterminer la probabilité qu’au plus trois clients soient satisfaits de leur achat. On arrondira le résultat à 10(cid:2879)(cid:2871) . 2. Soit (cid:1866) un entier naturel non nul. On choisit à présent (cid:1866) clients au hasard. Ce choix peut être assimilé à un tirage au sort avec remise. a. On note (cid:1868) la probabilité que les (cid:1866) clients soient tous satisfaits de leur achat. (cid:3041) Démontrer que (cid:1868) = 0,82(cid:3041). (cid:3041) b. Déterminer les entiers naturels (cid:1866) tels que (cid:1868) < 0,01. (cid:3041) Interpréter dans le contexte de l’exercice. 23MATJ2LR1 Page : 2/5 EXERCICE 2 (5 points) On considère la suite ((cid:1873) ) définie par (cid:1873) = 8 et, pour tout entier naturel (cid:1866) , (cid:3041) (cid:2868) 6(cid:1873) +2 (cid:3041) (cid:1873) = . (cid:1873) +5 (cid:3041) 1. Calculer (cid:1873) . (cid:2869) 2. Soit (cid:1858) la fonction définie sur l’intervalle [0 ;+∞[ par : 6(cid:1876)+2 (cid:1858)((cid:1876)) = . (cid:1876) +5 Ainsi, pour tout entier naturel (cid:1866), on a : (cid:1873) = (cid:1858)((cid:1873) ). (cid:3041) a. Démontrer que la fonction (cid:1858) est strictement croissante sur l’intervalle [0 ;+∞[. En déduire que pour tout réel (cid:1876) > 2, on a (cid:1858)((cid:1876)) > 2. b.