Sujet Mathématiques — Terminale — Liban — Bac 2023

Exercice 1 (5 points) Partie A On considère la fonction 𝑔 définie sur l’intervalle ]0;+∞[ par 𝑔(𝑥) = ln(𝑥2)+𝑥 −2 1. Déterminer les limites de la fonction 𝑔 aux bornes de son ensemble de définition. 2. On admet que la fonction 𝑔 est dérivable sur l’intervalle ]0;+∞[. Étudier les variations de la fonction 𝑔 sur l’intervalle ]0;+∞[. 3. a. Démontrer qu’il existe un unique réel strictement positif 𝛼 tel que 𝑔(𝛼) = 0. b. Déterminer un encadrement de 𝛼 d’amplitude 10−2. 4. En déduire le tableau de signe de la fonction 𝑔 sur l’intervalle ]0;+∞[. Partie B On considère la fonction 𝑓 définie sur l’intervalle ]0;+∞[ par : (𝑥−2) 𝑓(𝑥) = ln (𝑥) 𝑥 On note 𝐶 sa courbe représentative dans un repère orthonormé. 𝑓 1. a. Déterminer la limite de la fonction 𝑓 en 0. b. Interpréter graphiquement le résultat. 2. Déterminer la limite de la fonction 𝑓 en +∞. 3. On admet que la fonction 𝑓 est dérivable sur l’intervalle ]0;+∞[. 𝑔(𝑥) Montrer que pour tout réel 𝑥 strictement positif, on a 𝑓′(𝑥) = . 𝑥2 4. En déduire les variations de la fonction 𝑓 sur l’intervalle ]0;+∞[. Partie C Étudier la position relative de la courbe 𝐶 et de la courbe représentative de la fonction ln 𝑓 sur l’intervalle ]0; +∞[. Page 2/6 23-MATJ1LI1 Exercice 2 (5 points) Dans un souci de préservation de l’environnement, Monsieur Durand décide de se rendre chaque matin au travail en utilisant son vélo ou les transports en commun. S’il choisit de prendre les transports en commun un matin, il reprend les transports en commun le lendemain avec une probabilité égale à 0,8. S’il utilise son vélo un matin, il reprend son vélo le lendemain avec une probabilité égale à 0,4. Pour tout entier naturel 𝑛 non nul, on note :  𝑇 l’événement « Monsieur Durand utilise les transports en commun le 𝑛-ième jour » 𝑛  𝑉 l’événement « Monsieur Durand utilise son vélo le 𝑛-ième jour » 𝑛  On note 𝑝 la probabilité de l’événement 𝑇 . 𝑛 𝑛 Le premier matin, il décide d’utiliser les transports en commun. Ainsi, la probabilité de l’événement 𝑇 est 𝑝 = 1. 1 1 1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous représentant la situation pour les 2e et 3e jours. 2. Calculer 𝑝 . 3 3. Le 3e jour, M. Durand utilise son vélo. Calculer la probabilité qu’il ait pris les