Sujet Mathématiques — Terminale — Liban — Bac 2023

Exercice 1 (5 points) On considère la fonction 𝑓 définie sur ℝ par : 1 𝑓(𝑥) = 1+e−3𝑥 On note 𝒞 sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan. 𝑓 1 5 On nomme A le point de coordonnées (0 ; ) et B le point de coordonnées (1 ; ). 2 4 On a tracé ci-dessous la courbe 𝒞 , et 𝒯 la tangente à la courbe 𝒞 au point 𝑓 𝑓 d’abscisse 0. B 𝒞 𝑓 A 𝒯 Partie A : lectures graphiques Dans cette partie, les résultats seront obtenus par lecture graphique. Aucune justification n’est demandée. 1. Déterminer l’équation réduite de la tangente 𝒯. 2. Donner les intervalles sur lesquels la fonction 𝑓 semble convexe ou concave. Partie B : étude de la fonction 1. On admet que la fonction 𝑓 est dérivable sur ℝ. Déterminer l’expression de sa fonction dérivée 𝑓′. 2. Justifier que la fonction 𝑓 est strictement croissante sur ℝ. 3. a. Déterminer la limite en +∞ de la fonction 𝑓. b. Déterminer la limite en −∞ de la fonction 𝑓. 4. Déterminer la valeur exacte de la solution 𝛼 de l’équation 𝑓(𝑥) = 0,99. Page 2/5 23-MATJ2LI1 Partie C : Tangente et convexité 1. Déterminer par le calcul une équation de la tangente 𝒯 à la courbe 𝒞 au point 𝑓 d’abscisse 0. On admet que la fonction 𝑓 est deux fois dérivable sur ℝ. On note 𝑓′′ la fonction dérivée seconde de la fonction 𝑓. On admet que 𝑓′′ est définie sur ℝ par : 9e−3𝑥(e−3𝑥 −1) 𝑓′′(𝑥) = (1+e−3𝑥)3 2. Étudier le signe de la fonction 𝑓′′ sur ℝ. 3. a. Indiquer, en justifiant, sur quel(s) intervalle(s) la fonction 𝑓 est convexe. b. Que représente le point A pour la courbe 𝒞 ? 𝑓 4. En déduire la position relative de la tangente 𝒯 et de la courbe 𝒞 . Justifier la 𝑓 réponse. Exercice 2 (5 points) Partie A On considère la fonction 𝑓 définie par : 𝑓(𝑥) = 𝑥−ln(1+𝑥) 1. Justifier que la fonction 𝑓 est définie sur l’intervalle ]−1 ; +∞[. 2. On admet que la fonction 𝑓 est dérivable sur ]−1 ; +∞[. Déterminer l’expression de sa fonction dérivée 𝑓′. 3. a. En déduire le sens de variation de la fonction 𝑓 sur l’intervalle ]−1 ; +∞[. b. En déduire le signe de la fonction 𝑓 sur l’intervalle ]−1 ; +∞[. 4. a. Montrer que, pour