Sujet Mathématiques — Terminale — Métropole — Bac 2023

EXERCICE 1 (5 points) Une entreprise de location de bateaux de tourisme propose à ses clients deux types de bateaux : bateau à voile et bateau à moteur. Par ailleurs, un client peut prendre l’option PILOTE. Dans ce cas, le bateau, qu’il soit à voile ou à moteur, est loué avec un pilote. On sait que : • 60 % des clients choisissent un bateau à voile ; parmi eux, 20 % prennent l’option PILOTE. • 42 % des clients prennent l’option PILOTE. On choisit au hasard un client et on considère les événements : • (cid:1848) : « le client choisit un bateau à voile » ; • (cid:1838) : « le client prend l’option PILOTE ». Les trois parties peuvent être traitées de manière indépendante. Partie A 1. Traduire la situation par un arbre pondéré que l’on complètera au fur et à mesure. 2. Calculer la probabilité que le client choisisse un bateau à voile et qu’il ne prenne pas l’option PILOTE. 3. Démontrer que la probabilité que le client choisisse un bateau à moteur et qu’il prenne l’option PILOTE est égale à 0,30. 4. En déduire (cid:1842) ((cid:1838)), probabilité de (cid:1838) sachant que (cid:1848) n’est pas réalisé. (cid:3023)(cid:3365) 5. Un client a pris l’option PILOTE. Quelle est la probabilité qu’il ait choisi un bateau à voile ? Arrondir à 0,01 près. Partie B Lorsqu’un client ne prend pas l’option PILOTE, la probabilité que son bateau subisse une avarie est égale à 0,12. Cette probabilité n’est que de 0,005 si le client prend l’option PILOTE. On considère un client. On note (cid:1827) l’événement ∶ « son bateau subit une avarie ». 1. Déterminer et ∩(cid:1827)). 2. L’entreprise loue 1000 bateaux. À combien d’avaries peut-elle s’attendre ? Partie C On rappelle que la probabilité qu’un client donné prenne l’option PILOTE est égale à 0,42. On considère un échantillon aléatoire de 40 clients. On note (cid:1850) la variable aléatoire comptant le nombre de clients de l’échantillon prenant l’option PILOTE. 1. On admet que la variable aléatoire (cid:1850) suit une loi binomiale. Donner sans justification ses paramètres. 2. Calculer la probabilité, arrondie à 10(cid:2879)(cid:2871), qu’au moins 15 clients prennent l’option PILOTE. 23MATJ1NC1 Page : 2/5 EXERCICE 2 (5 points) On considère la suite ((cid:1873) ) définie par (cid:1873) = 3 et, pour tout entier naturel (cid:1866), par : (cid:3041) (cid:2868) (cid:1873) = 5(cid:1873) −4(cid:1866)−3 . (cid:3041) 1. a. Démontrer que (cid:1873)