Sujet Mathématiques — Terminale — Métropole — Bac 2023

EXERCICE 1 (5 points) On considère le cube ABCDEFGH d’arête 1 représenté ci-contre. On note K le milieu du segment (cid:4670)HG(cid:4671). K On se place dans le repère orthonormé (A ; , ). 1. Justifier que les points C, F et K définissent un plan. 2. a. Donner, sans justifier, les longueurs KG, GF et GC. b. Calculer l’aire du triangle FGC. c. Calculer le volume du tétraèdre FGCK . On rappelle que le volume (cid:1848) d’un tétraèdre est donné par : (cid:2869) (cid:1848) (cid:3404) (cid:2268) (cid:3400)(cid:1860), (cid:2871) où (cid:2268) est l’aire d’une base et (cid:1860) la hauteur correspondante. 1 3. a. On note le vecteur de coordonnées (cid:3437)2(cid:3441) . 1 Démontrer que est normal au plan (cid:4666)CFK(cid:4667). b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan (cid:4666)CFK(cid:4667) est : (cid:1876) (cid:3404) 0. 4. On note Δ la droite passant par le point G et orthogonale au plan (cid:4666)CFK(cid:4667). Démontrer qu’une représentation paramétrique de la droite Δ est : (cid:1876) (cid:3404) 1(cid:3397)(cid:1872) (cid:3421) (cid:1877) (cid:3404) 1(cid:3397)2(cid:1872) (cid:4666)(cid:1872) (cid:1488) (cid:1337)(cid:4667) . (cid:1878) (cid:3404) 1(cid:3397)(cid:1872) 5. Soit L le point d’intersection entre la droite Δ et le plan (cid:4666)CFK(cid:4667). a. Déterminer les coordonnées du point L. √(cid:2874) b. En déduire que (cid:1838)(cid:1833) (cid:3404) . (cid:2874) 6. En utilisant la question 2., déterminer la valeur exacte de l’aire du triangle CFK. 23MATJ2NC1 Page : 2/5 EXERCICE 2 (5 points) On considère la fonction (cid:1858), définie sur [0 ; + ∞[ par : (cid:1858)((cid:1876)) = On note (cid:2269) sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan. (cid:3033) On admet que (cid:1858) est deux fois dérivable sur [0 ; + ∞[. On note (cid:1858)′ sa dérivée et (cid:1858)′′ sa dérivée seconde. (cid:3051) 1. En remarquant que pour tout (cid:1876) dans [0 ; + ∞[, on a (cid:1858)((cid:1876)) = , (cid:2915)(cid:3299) démontrer que la courbe (cid:2269) possède une asymptote en +∞ dont on donnera (cid:3033) une équation. 2. Démontrer que pour tout réel (cid:1876) appartenant à [0 ; + ∞[ : (cid:1858)′((cid:1876)) = 3. Dresser le tableau de variations de (cid:1858) sur [0 ; + ∞[ , sur lequel on fera figurer les valeurs aux bornes ainsi que la valeur exacte de l’extremum. 4. Déterminer, sur l’intervalle [0 ; + ∞[, le nombre de solutions de l’équation 367 (cid:1858)((cid:1876)) = . 1000 5. On admet que pour tout (cid:1876) appartenant à [0 ; + ∞[ : = Étudier la convexité de la fonction (cid:1858) sur l’intervalle