Sujet Mathématiques — Terminale — Polynésie — Bac 2023

Exercice 1. (5 points) Thèmes : probabilités, suites Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment. Partie A Chaque jour, un athlète doit sauter une haie en fin d’entraînement. Son entraîneur estime, au vu de la saison précédente, que : • si l’athlète franchit la haie un jour, alors il la franchira dans 90 % des cas le jour suivant ; • si l’athlète ne franchit pas la haie un jour, alors dans 70 % des cas il ne la franchira pas non plus le lendemain. On note pour tout entier naturel 𝑛 : • 𝑅 l'événement : « L’athlète réussit à franchir la haie lors de la 𝑛-ième séance », 𝑛 • 𝑝 la probabilité de l'événement 𝑅 . On considère que 𝑝 = 0,6. 𝑛 𝑛 0 1. Soit 𝑛 un entier naturel, recopier l’arbre pondéré ci-dessous et compléter les pointillés. 2. Justifier en vous aidant de l’arbre que, pour tout entier naturel 𝑛, on a : 𝑝 = 0,6 𝑝 +0,3. 𝑛+1 𝑛 3. On considère la suite (𝑢 ) définie, pour tout entier naturel 𝑛, par 𝑢 = 𝑝 −0,75. 𝑛 𝑛 𝑛 a. Démontrer que la suite (𝑢 ) est une suite géométrique dont on précisera 𝑛 la raison et le premier terme. b. Démontrer que, pour tout entier naturel 𝑛 : 𝑝 = 0,75−0,15×0,6𝑛. 𝑛 c. En déduire que la suite (𝑝 ) est convergente et déterminer sa limite ℓ. 𝑛 d. Interpréter la valeur de ℓ dans le cadre de l'exercice. 23-MATJ2PO1 Page : 2/7 Partie B Après de nombreuses séances d'entraînement, l’entraineur estime maintenant que l’athlète franchit chaque haie avec une probabilité de 0,75 et ce indépendamment d’avoir franchi ou non les haies précédentes. On note 𝑋 la variable aléatoire qui donne le nombre de haies franchies par l’athlète à l’issue d’un 400 mètres haies qui comporte 10 haies. 1. Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par 𝑋. 2. Déterminer, à 10−3 près, la probabilité que l’athlète franchisse les 10 haies. 3. Calculer 𝑃(𝑋 ≥ 9), à 10−3 près. 23-MATJ2PO1 Page : 3/7 Exercice 2. (5 points) Thème : Géométrie dans l’espace L’espace est muni d’un repère orthonormé ( 𝑂 ; 𝑖⃗ ; 𝑗⃗ ; 𝑘⃗⃗ ). On considère : • le point 𝐴(1 ;−1 ;−1) ; • le plan 𝒫 d’équation : 5𝑥 +2𝑦+4𝑧 = 17 ; 1 • le plan 𝒫 d’équation :