Sujet Mathématiques — Terminale — Asie — Bac 2024

Exercice 1 (5 points) Partie A On considère une fonction 𝑓 définie sur [0 ;+∞[, représentée par la courbe 𝐶 ci-dessous. 5 La droite 𝑇 est tangente à la courbe 𝐶 au point A d’abscisse . 2 1. Dresser, par lecture graphique, le tableau des variations de la fonction 𝑓 sur l’intervalle [0 ;5]. 2. Que semble présenter la courbe 𝐶 au point A ? 3. La dérivée 𝑓′ et la dérivée seconde 𝑓′′ de la fonction 𝑓 sont représentées par les courbes ci-dessous. Associer à chacune de ces deux fonctions la courbe qui la représente. Ce choix sera justifié. Courbe 𝐶 Courbe 𝐶 1 2 24-MATJ1JA1 Page : 2/7 4. La courbe 𝐶 ci-contre peut-elle être la 3 représentation graphique sur [0 ;+∞[, d’une primitive de la fonction 𝑓 ? Justifier. Partie B Dans cette partie, on considère que la fonction 𝑓, définie et deux fois dérivable sur [0 ;+∞[, est définie par 𝑓(𝑥) = (4𝑥 −2)e−𝑥+1. On notera respectivement 𝑓′ et 𝑓′′ la dérivée et la dérivée seconde de la fonction 𝑓. 1. Étude de la fonction 𝑓 a. Montrer que 𝑓′(𝑥) = (−4𝑥 +6)e−𝑥+1. b. Utiliser ce résultat pour déterminer le tableau complet des variations de la fonction 𝑓 sur [0 ;+∞[. On admet que lim 𝑓(𝑥) = 0. 𝑥→+∞ c. Étudier la convexité de la fonction 𝑓 et préciser l’abscisse d’un éventuel point d’inflexion de la courbe représentative de 𝑓. 2. On considère une fonction 𝐹 définie sur [0 ;+∞[ par 𝐹(𝑥) = (𝑎𝑥+𝑏)e−𝑥+1, où 𝑎 et 𝑏 sont deux nombres réels. a. Déterminer les valeurs des réels 𝑎 et 𝑏 telles que la fonction 𝐹 soit une primitive de la fonction 𝑓 sur [0;+∞[. b. On admet que 𝐹(𝑥) = (−4𝑥−2)e−𝑥+1 est une primitive de la fonction 𝑓 sur [0;+∞[. En déduire la valeur exacte, puis une valeur approchée à 10−2 près, de l’intégrale 8 𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥) d𝑥 3 2 3. Une municipalité a décidé de construire une piste de trottinette freestyle. Le profil de cette piste est donné par la courbe représentative de la fonction 𝑓 3 sur l’intervalle [ ; 8]. 2 L’unité de longueur est le mètre. a. Donner une valeur approchée au cm près de la hauteur du point de départ D. b. La municipalité a organisé un concours de graffiti pour orner le mur de profil de la piste. L’artiste retenue prévoit de couvrir environ 75% de la