Sujet Mathématiques — Terminale — Asie — Bac 2024

Exercice 1 (5,5 points) On considère la fonction 𝑓 définie sur ]0 ;+∞[ par 𝑓(𝑥) = 𝑥2 −𝑥 ln (𝑥). On admet que 𝑓 est deux fois dérivable sur ]0 ;+∞[. On note 𝑓′ la fonction dérivée de la fonction 𝑓 et 𝑓′′ la fonction dérivée de la fonction 𝑓′. Partie A : Étude de la fonction 𝒇 1. Déterminer les limites de la fonction 𝑓 en 0 et en +∞. 2. Pour tout réel 𝑥 strictement positif, calculer 𝑓′(𝑥). 3. Montrer que pour tout réel 𝑥 strictement positif : 2𝑥 −1 𝑓′′(𝑥) = 𝑥 4. Étudier les variations de la fonction 𝑓′ sur ]0 ; +∞[, puis dresser le tableau des variations de la fonction 𝑓′ sur ]0 ; +∞[. On veillera à faire apparaître la valeur exacte de l’extremum de la fonction 𝑓′ sur ]0 ; +∞[. Les limites de la fonction 𝑓′ aux bornes de l’intervalle de définition ne sont pas attendues. 5. Montrer que la fonction 𝑓 est strictement croissante sur ]0 ; +∞[. Partie B : Étude d’une fonction auxiliaire pour la résolution de l’équation 𝒇(𝒙) = 𝒙 On considère dans cette partie la fonction 𝑔 définie sur ]0 ; +∞[ par 𝑔(𝑥) = 𝑥−ln (𝑥). On admet que la fonction 𝑔 est dérivable sur ]0 ; +∞[, on note 𝑔′ sa dérivée. 1. Pour tout réel strictement positif, calculer 𝑔′(𝑥), puis dresser le tableau des variations de la fonction 𝑔. Les limites de la fonction 𝑔 aux bornes de l’intervalle de définition ne sont pas attendues. 2. On admet que 1 est l’unique solution de l’équation 𝑔(𝑥) = 1. Résoudre, sur l’intervalle ]0 ; +∞[, l’équation 𝑓(𝑥) = 𝑥. Partie C : Étude d’une suite récurrente 1 On considère la suite (𝑢 ) définie par 𝑢 = et pour tout entier naturel 𝑛, 𝑛 0 2 𝑢 = 𝑓(𝑢 ) = 𝑢2 −𝑢 ln(𝑢 ). 𝑛+1 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 1 1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel 𝑛 : ≤ 𝑢 ≤ 𝑢 ≤ 1. 𝑛 𝑛+1 2 2. Justifier que la suite (𝑢 ) converge. 𝑛 On appelle 𝑙 la limite de la suite (𝑢 ) et on admet que 𝑙 vérifie l’égalité 𝑓(𝑙) = 𝑙 . 𝑛 3. Déterminer la valeur de 𝑙. 24-MATJ2JA1 Page : 2/6 Exercice 2 (5,5 points) Léa passe une bonne partie de ses journées à jouer à un jeu vidéo et s’intéresse aux chances