Sujet Mathématiques — Terminale — Métropole — Bac 2024

Exercice 1 (6 points) On considère un cube 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 de côté 1. Δ 𝐾 𝐻 𝐺 𝐸 𝐹 𝐿 𝐷 𝐶 𝐴 𝐼 𝐵 Le point 𝐼 est le milieu du segment [𝐵𝐷]. On définit le point 𝐿 tel que 𝐼⃗⃗⃗𝐿 = 3 𝐼⃗⃗⃗𝐺⃗ . 4 On se place dans le repère orthonormé (𝐴;𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ ,𝐴⃗⃗⃗⃗𝐷⃗ ,⃗𝐴⃗⃗⃗𝐸⃗ ). 1. a. Préciser les coordonnées des points 𝐷,𝐵,𝐼 et 𝐺. Aucune justification n’est attendue. 7 7 3 b. Montrer que le point 𝐿 a pour coordonnées ( ; ; ). 8 8 4 2. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan (𝐵𝐷𝐺) est 𝑥+𝑦−𝑧−1 = 0. 3. On considère la droite Δ perpendiculaire au plan (𝐵𝐷𝐺) passant par 𝐿. a. Justifier qu’une représentation paramétrique de la droite Δ est : 7 𝑥 = +𝑡 8 7 𝑦 = +𝑡 où 𝑡 ∈ ℝ . 8 𝑧 = 3 −𝑡 { 4 b. Montrer que les droites Δ et (𝐴𝐸) sont sécantes au point 𝐾 de 13 coordonnées (0 ;0 ; ). 8 c. Que représente le point 𝐿 pour le point 𝐾 ? Justifier la réponse. 4. a. Calculer la distance 𝐾𝐿. √3 b. On admet que le triangle 𝐷𝐵𝐺 est équilatéral. Montrer que son aire est égale à . 2 c. En déduire le volume du tétraèdre 𝐾𝐷𝐵𝐺. On rappelle que : 1 ▪ le volume d’une pyramide est donné par la formule V = ×ℬ ×ℎ où ℬ est l’aire 3 d’une base et ℎ la longueur de la hauteur relative à cette base ; ▪ un tétraèdre est une pyramide à base triangulaire. 24-MATJ1ME3 page 2 sur 6 5. On désigne par 𝑎 un réel appartenant à l’intervalle ]0 ; +∞[ et on note 𝐾 le point de 𝑎 coordonnées (0 ;0 ;𝑎). a. Exprimer le volume 𝑉 de la pyramide 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐾 en fonction de 𝑎. 𝑎 𝑎 𝑥 = 𝑡′ b. On note ∆ la droite de représentation paramétrique : {𝑦 = 𝑡′ où 𝑡′ ∈ ℝ . 𝑎 𝑧 = −𝑡′ +𝑎 On appelle 𝐿 le point d’intersection de la droite ∆ avec le plan (𝐵𝐷𝐺). Montrer que 𝑎 𝑎 𝑎+1 𝑎+1 2𝑎−1 les coordonnées du point 𝐿 sont ( ; ; ). 𝑎 3 3 3 c. Déterminer, s’il existe, un réel strictement positif 𝑎 tel que le tétraèdre 𝐺𝐵𝐷𝐾 et la 𝑎 pyramide 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐾 soient de même volume. 𝑎 Exercice 2 (5 points) Les deux parties sont