Sujet Mathématiques — Terminale — Métropole — Bac 2024

Exercice 1 (5 points) On considère le cube 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 représenté ci-dessous. Les points 𝐼 et 𝐽 sont les milieux respectifs des segments [𝐴𝐵] et [𝐶𝐺]. Le point 𝑁 est le milieu du segment [𝐼𝐽]. L’objectif de cet exercice est de calculer le volume du tétraèdre 𝐻𝐹𝐼𝐽. On se place dans le repère orthonormé (𝐴;𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ ,𝐴⃗⃗⃗⃗𝐷⃗ ,⃗𝐴⃗⃗⃗𝐸⃗ ). 1. a. Donner les coordonnées des points 𝐼 et 𝐽. En déduire les coordonnées de 𝑁. b. Justifier que les vecteurs 𝐼⃗⃗⃗𝐽 et 𝑁⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ ont pour coordonnées respectives : 0,5 0,25 𝐼⃗⃗⃗𝐽 ( 1 ) et 𝑁⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ (−0,5). 0,5 0,75 c. Démontrer que les vecteurs 𝐼⃗⃗⃗𝐽 et 𝑁⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ sont orthogonaux. √14 On admet que 𝑁𝐹 = . 4 √21 d. En déduire que l’aire du triangle 𝐹𝐼𝐽 est égale à . 8 4 2. On considère le vecteur 𝑢⃗ (−1). −2 a. Démontrer que le vecteur 𝑢⃗ est normal au plan (𝐹𝐼𝐽). b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan (𝐹𝐼𝐽) est : 4𝑥 −𝑦−2𝑧−2 = 0 . c. On note 𝑑 la droite orthogonale au plan (𝐹𝐼𝐽) passant par le point 𝐻. Déterminer une représentation paramétrique de la droite 𝑑. 5√21 d. Montrer que la distance du point 𝐻 au plan (𝐹𝐼𝐽) est égale à . 21 1 e. On rappelle que le volume d’une pyramide est donné par la formule V= ×ℬ ×ℎ où ℬ est 3 l’aire d’une base et ℎ la longueur de la hauteur relative à cette base. Calculer le volume du tétraèdre 𝐻𝐹𝐼𝐽. On donnera la réponse sous la forme d’une fraction irréductible. 24-MATJ2ME3 page 2 sur 6 Exercice 2 (5 points) La partie C est indépendante des parties A et B. Un robot est positionné sur un axe horizontal et se déplace plusieurs fois d’un mètre sur cet axe, aléatoirement vers la droite ou vers la gauche. 1 Lors du premier déplacement, la probabilité que le robot se déplace à droite est égale à . 3 S’il se déplace à droite, la probabilité que le robot se déplace de nouveau à droite lors du 3 déplacement suivant est égale à . 4 S’il se déplace à gauche, la probabilité que le robot se déplace de nouveau à gauche lors du 1 déplacement suivant est égale à . 2 Pour tout entier naturel 𝑛 ≥ 1, on note : • 𝐷 l’événement : « le robot se déplace à droite lors du 𝑛-ième déplacement » ; 𝑛