Sujet Mathématiques — Terminale — Polynésie — Bac 2024

Exercice 1. (4 points) Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Dans cet exercice, les questions sont indépendantes les unes des autres. Les quatre affirmations se placent dans la situation suivante : Dans l’espace muni d’un repère orthonormé (𝑂 ;𝑖⃗,𝑗⃗,𝑘⃗⃗), on considère les points : 𝐴(2 ; 1 ;−1), 𝐵(−1 ; 2 ;1) et 𝐶(5 ; 0 ;−3). On note 𝒫 le plan d’équation cartésienne : 𝑥+5𝑦−2𝑧+3 = 0. On note 𝒟 la droite de représentation paramétrique : 𝑥 = −𝑡+3 {𝑦 = 𝑡+2 ,𝑡 ∈ ℝ. 𝑧 = 2𝑡+1 Affirmation 1 : 1 Le vecteur 𝑛⃗⃗(0) est normal au plan (𝑂𝐴𝐶). 2 Affirmation 2 : Les droites 𝒟 et (𝐴𝐵) sont sécantes au point 𝐶. Affirmation 3 : La droite 𝒟 est parallèle au plan 𝒫. Affirmation 4 : Le plan médiateur du segment [𝐵𝐶], noté Q, a pour équation cartésienne : 3𝑥 −𝑦−2𝑧−7 = 0. On rappelle que le plan médiateur d’un segment est le plan perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu. 24-MATJ1PO1 Page : 2/6 Exercice 2. (5 points) Une entreprise fabrique des objets en plastique en injectant dans un moule de la matière fondue à 210°C. On cherche à modéliser le refroidissement du matériau à l’aide d’une fonction 𝑓 donnant la température du matériau injecté en fonction du temps 𝑡. Le temps est exprimé en seconde et la température est exprimée en degré Celsius. On admet que la fonction 𝑓 cherchée est solution d’une équation différentielle de la forme suivante où 𝑚 est une constante réelle que l’on cherche à déterminer : (𝐸) ∶ 𝑦′ +0,02𝑦 = 𝑚 Partie A 1. Justifier l’affichage suivant d’un logiciel de calcul formel : Entrée : +0,02𝑦 = 𝑚) Sortie : ➡ 𝑦 = 𝑘∗exp(−0.02∗𝑡)+50∗𝑚 2. La température de l’atelier est de 30° C. On admet que la température 𝑓(𝑡) tend vers 30 lorsque 𝑡 tend vers l’infini. Démontrer que 𝑚 = 0,6. 3. Déterminer l’expression de la fonction 𝑓 cherchée en tenant compte de la condition initiale 𝑓(0) = 210. Partie B On admet ici que la température (exprimée en degré Celsius) du matériau injecté en fonction du temps (exprimé en seconde) est donnée par la fonction dont l’expression et une représentation graphique sont données ci-dessous : 𝑓(𝑡) = 180 e−0,02𝑡 +30 1. L’objet peut être démoulé lorsque