Sujet Mathématiques — Terminale — Amérique du Nord — Bac 2025

Exercice 1 (6 points) Pour accéder au réseau privé d’une entreprise depuis l’extérieur, les connexions des employés transitent aléatoirement via trois serveurs distants différents, notés A, B et C. Ces serveurs ont des caractéristiques techniques différentes et les connexions se répartissent de la manière suivante :  25 % des connexions transitent via le serveur A ;  15 % des connexions transitent via le serveur B ;  le reste des connexions s’effectue via le serveur C. Les connexions à distance sont parfois instables et, lors du fonctionnement normal des serveurs, les utilisateurs peuvent subir des déconnexions pour différentes raisons (saturation des serveurs, débit internet insuffisant, attaques malveillantes, mises à jour de logiciels, etc.). On dira qu’une connexion est stable si l’utilisateur ne subit pas de déconnexion après son identification aux serveurs. L’équipe de maintenance informatique a observé statistiquement que, dans le cadre d’un fonctionnement habituel des serveurs :  90 % des connexions via le serveur A sont stables ;  80 % des connexions via le serveur B sont stables ;  85 % des connexions via le serveur C sont stables. Les parties A et B sont indépendantes l’une de l’autre et peuvent être traitées séparément. Partie A On s’intéresse au hasard à l’état d’une connexion effectuée par un employé de l’entreprise. On considère les événements suivants :  𝐴 : « La connexion s’est effectuée via le serveur A » ;  𝐵 : « La connexion s’est effectuée via le serveur B » ;  𝐶 : « La connexion s’est effectuée via le serveur C » ;  𝑆 : « La connexion est stable ». On note 𝑆̅ l’événement contraire de l’événement 𝑆. 1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous modélisant la situation de l’énoncé. 2 /7 25-MATJ1AN1 2. Démontrer que la probabilité que la connexion soit stable et passe par le serveur B est égale à 0,12. 3. Calculer la probabilité 𝑃(𝐶 ∩𝑆̅) et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice. 4. Démontrer que la probabilité de l’événement 𝑆 est 𝑃(𝑆) = 0,855. 5. On suppose désormais que la connexion est stable. Calculer la probabilité que la connexion ait eu lieu depuis le serveur B. On donnera la valeur arrondie au millième. Partie B D’après la partie A, la probabilité qu’une connexion soit instable est égale à 0,145. 1. Dans le but de détecter les dysfonctionnements de serveurs, on étudie