Sujet Mathématiques — Terminale — Amérique du Nord — Bac 2025

Exercice 1 (5 points) Au basket-ball, il est possible de marquer des paniers rapportant un point, deux points ou trois points. Les PARTIES A et B sont indépendantes. PARTIE A L’entraineur d’une équipe de basket décide d’étudier les statistiques de réussite des lancers de ses joueurs. Il constate qu’à l’entrainement, lorsque Victor tente un panier à trois points, il le réussit avec une probabilité de 0,32. Lors d’un entrainement, Victor effectue une série de 15 lancers à trois points. On suppose que ces lancers sont indépendants. On note 𝑁 la variable aléatoire qui donne le nombre de paniers marqués. Les résultats des probabilités demandées seront, si nécessaire, arrondis au millième. 1. On admet que la variable aléatoire 𝑁 suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres. 2. Calculer la probabilité que Victor réussisse exactement 4 paniers lors de cette série. 3. Déterminer la probabilité que Victor réussisse au plus 6 paniers lors de cette série. 4. Déterminer l’espérance de la variable aléatoire 𝑁. 5. On note 𝑇 la variable aléatoire qui donne le nombre de points marqués après cette série de lancers. a. Exprimer 𝑇 en fonction de 𝑁. b. En déduire l’espérance de la variable aléatoire 𝑇. Donner une interprétation de cette valeur dans le contexte de l’exercice. c. Calculer 𝑃(12 ≤ 𝑇 ≤ 18). PARTIE B On note 𝑋 la variable aléatoire donnant le nombre de points marqués par Victor lors d’un match. On admet que l’espérance 𝐸(𝑋) = 22 et la variance 𝑉(𝑋) = 65. Victor joue 𝑛 matchs, où 𝑛 est un nombre entier strictement positif. On note 𝑋 , 𝑋 , …, 𝑋 les variables aléatoires donnant le nombre de points marqués au 1 2 𝑛 cours des 1er , 2e , …, n-ième matchs. On admet que les variables aléatoires 𝑋 , 𝑋 , …, 𝑋 1 2 𝑛 sont indépendantes et suivent la même loi que celle de 𝑋. On pose 𝑀 𝑋 1 + 𝑋 2 +…+ 𝑋 𝑛 . 𝑛= 𝑛 25-MATJ2AN1 2 /6 1. Dans cette question, on prend 𝑛 = 50. a. Que représente la variable aléatoire 𝑀 ? 50 b. Déterminer l’espérance et la variance de 𝑀 . 50 13 c. Démontrer que 𝑃(|𝑀 −22| ≥ 3) ≤ . 50 90 d. En déduire que la probabilité de l’événement « 19 < 𝑀 < 25 » est strictement 50 supérieure à 0,85. 2. Indiquer, en justifiant, si l’affirmation suivante