Sujet Mathématiques — Terminale — Amérique du Nord — Bac 2025

Exercice 1 (5 points) On considère la fonction 𝑓 définie sur 𝐑 par 𝑓(𝑥) = 𝑥e!" +2𝑥 −1. On admet que la fonction 𝑓 est deux fois dérivable sur 𝐑. On appelle 𝐶 sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan. # On note 𝑓′ la fonction dérivée de la fonction 𝑓 et 𝑓′′ la fonction dérivée seconde de 𝑓, c’est-à-dire la fonction dérivée de la fonction 𝑓′. Partie A : Étude de la fonction 𝒇 1. Déterminer les limites de la fonction 𝑓 en −∞ et en +∞. 2. Pour tout réel 𝑥, calculer 𝑓′(𝑥). 3. Montrer que pour tout réel 𝑥 : 𝑓$$(𝑥) = (𝑥 −2)e!". 4. Étudier la convexité de la fonction 𝑓. 5. Étudier les variations de la fonction 𝑓′ sur 𝐑, puis dresser son tableau de variations en y faisant apparaître la valeur exacte de l’extremum. Les limites de la fonction 𝑓′ aux bornes de l’intervalle de définition ne sont pas attendues. 6. En déduire le signe de la fonction 𝑓′ sur 𝐑, puis justifier que la fonction 𝑓 est strictement croissante sur 𝐑. 7. Justifier qu’il existe un unique réel 𝛼 tel que 𝑓(𝛼) = 0. Donner un encadrement de 𝛼, au centième près. 8. On considère la droite ∆ d’équation 𝑦 = 2𝑥 −1. Étudier la position relative de la courbe 𝐶 par rapport à la droite ∆. # Partie B : Calcul d’aire Soit 𝑛 un entier naturel non nul. On considère l’aire du domaine 𝐷 délimité par la courbe % 𝐶 , la droite ∆ et les droites d’équations respectives 𝑥 = 1 et 𝑥 = 𝑛. On note # % 𝐼 = 9 𝑥e!" d𝑥. % & 1. À l’aide d’une intégration par parties, exprimer 𝐼 en fonction de 𝑛. % 2. a. Justifier que l’aire du domaine 𝐷 est 𝐼 . % % b. Calculer la limite de l’aire du domaine 𝐷 quand 𝑛 tend vers +∞. % 25-MATPE2 Page : 2/6 Exercice 2 (5 points) Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse puis justifier la réponse donnée. Toute réponse non argumentée ne sera pas prise en compte. (O,𝚤⃗,𝚥⃗,𝑘A⃗) est un repère de l’espace. 𝑥 = 3−𝑡 On considère la droite D qui a pour représentation paramétrique B𝑦 = −2+3𝑡 , 𝑡 ∈ 𝐑 𝑧 = 1+4𝑡 et le plan P qui a pour équation cartésienne : 2𝑥 −3𝑦+𝑧−6 = 0. 1. Affirmation