Sujet Mathématiques — Terminale — Amérique du Sud — Bac 2025

EXERCICE 1 – 4 points Un étudiant mange tous les jours au restaurant universitaire. Ce restaurant propose des plats végétariens et des plats non végétariens. • Lorsqu’un jour donné l’étudiant a choisi un plat végétarien, la probabilité qu’il choisisse un plat végétarien le lendemain est 0,9. • Lorsqu’un jour donné l’étudiant a choisi un plat non végétarien, la probabilité qu’il choisisse un plat végétarien le lendemain est 0,7. Pour tout entier naturel 𝑛, on note 𝑉 l’évènement « l’étudiant a choisi un plat végétarien le 𝑛ième 𝑛 jour » et 𝑝 la probabilité de 𝑉 . 𝑛 𝑛 Le jour de la rentrée, l’étudiant a choisi le plat végétarien. On a donc 𝑝 = 1. 1 1. a. Indiquer la valeur de 𝑝 2. b. Montrer que 𝑝 = 0,88. On pourra s’aider d’un arbre pondéré. 3 c. Sachant que le 3e jour l’étudiant a choisi un plat végétarien, quelle est la probabilité qu’il ait choisi un plat non végétarien le jour précédent ? On arrondira le résultat à 10−3. 2. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous : … 𝑉 𝑛+1 𝑉 𝑛 𝑝 … 𝑉̅ 𝑛 𝑛+1 … … 𝑉 𝑛+1 𝑉̅ 𝑛 … 𝑉̅ 𝑛+1 3. Justifier que, pour tout entier naturel 𝑛 ≥ 1, 𝑝 = 0,2𝑝 +0,7. 𝑛+1 𝑛 4. On souhaite disposer de la liste des premiers termes de la suite (𝑝 ) pour 𝑛 ≥ 1. 𝑛 Pour cela, on utilise une fonction appelée repas programmée en langage Python dont on propose trois versions, indiquées ci-dessous. Programme 1 Programme 2 Programme 3 1 def repas(n): 1 def repas(n): 1 def repas(n): 2 p=1 2 p=1 2 p=1 3 L=[p] 3 L=[p] 3 L=[p] 4 for k in range(1,n): 4 for k in range(1,n+1): 4 for k in range(1,n): 5 p = 0.2*p+0.7 5 p = 0.2*p+0.7 5 p = 0.2*p+0.7 6 L.append(p) 6 L.append(p) 6 L.append(p+1) 7 return(L) 7 return(L) 7 return(L) a. Lequel de ces programmes permet d’afficher les 𝑛 premiers termes de la suite (𝑝 ) ? Aucune 𝑛 justification n’est attendue. b. Avec le programme choisi à la question a. donner le résultat affiché pour 𝑛 = 5. 5. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel 𝑛 ≥ 1, 𝑝 = 0,125×0,2𝑛−1 +0,875. 𝑛 6. En déduire la limite de la suite (𝑝 ). 𝑛 25MATJ1AS1 2/6 EXERCICE 2 – 5 points Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle