Sujet Mathématiques — Terminale — Amérique du Sud — Bac 2025

EXERCICE 1 – 6 points Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis à 10−3 𝑝𝑟ès en cas de besoin. Les deux parties de cet exercice sont indépendantes l’une de l’autre. Partie A Au tennis, le joueur qui est au service peut, en cas d’échec lors du premier service, servir une deuxième balle. En match, Abel réussit son premier service dans 70 % des cas. Lorsque le premier service est réussi, il gagne le point dans 80 % des cas. En revanche, après un échec à son premier service, Abel gagne le point dans 45 % des cas. Abel est au service. On considère les événements suivants : • S : « Abel réussit son premier service » • G : « Abel gagne le point ». 1. Décrire l’évènement S̅ puis traduire la situation par un arbre pondéré. 2. Calculer 𝑃(S∩G). 3. Justifier que la probabilité de l’évènement G est égale à 0,695. 4. Abel a gagné le point. Quelle est la probabilité qu’il ait réussi son premier service ? 5. Les évènements S et G sont-ils indépendants ? Justifier. Partie B À la sortie d’une usine de fabrication de balles de tennis, une balle est jugée conforme dans 85 % des cas. 1. On teste successivement 20 balles. On considère que le nombre de balles est suffisamment grand pour assimiler ces tests à un tirage avec remise. On note 𝑋 la variable aléatoire qui compte le nombre de balles conformes parmi les 20 testées. a. Quelle est la loi suivie par 𝑋 et quels sont ses paramètres ? Justifier. b. Calculer 𝑃(𝑋 ≤ 18). c. Quelle est la probabilité qu’au moins deux balles ne soient pas conformes parmi les 20 balles testées ? d. Déterminer l’espérance de 𝑋. 2. On teste maintenant 𝑛 balles successivement. On considère les 𝑛 tests comme un échantillon de 𝑛 variables aléatoires 𝑋 indépendantes suivant la loi de Bernoulli de paramètre 0,85. 𝑖 On considère la variable aléatoire 𝑛 𝑋 𝑋 𝑋 𝑋 𝑋 𝑖 1 2 3 𝑛 𝑀 = ∑ = + + +⋯+ 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑖=1 a. Déterminer l’espérance et la variance de 𝑀 . 𝑛 b. Après avoir rappelé l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que, pour tout entier 12,75 naturel 𝑛, 𝑃(0,75 < 𝑀 < 0,95) ≥ 1− . 𝑛 𝑛 c. En déduire un entier 𝑛 tel que la moyenne du nombre de balles conformes