Sujet Mathématiques — Terminale — Asie — Bac 2025

Exercice 1 (5 points) Soit 𝑓 la fonction définie sur 𝐑 par 𝑓(𝑥) = 𝑥e!"#. On admet que 𝑓 est deux fois dérivable sur 𝐑 et on note 𝑓′ la dérivée de la fonction 𝑓. On note 𝐶 la courbe représentative de 𝑓 dans un repère orthonormé du plan. $ Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse donnée. Toute réponse non argumentée ne sera pas prise en compte. Affirmation 1. Pour tout réel 𝑥, on a 𝑓%(𝑥) = (−2𝑥 +1)e!"#. Affirmation 2. La fonction 𝑓 est une solution sur 𝐑 de l’équation différentielle 𝑦% +2𝑦 = e!"#. Affirmation 3. La fonction 𝑓 est convexe sur ]−∞ ;1]. Affirmation 4. L’équation 𝑓(𝑥) = −1 admet une unique solution sur 𝐑. Affirmation 5. L’aire du domaine délimité par la courbe 𝐶 , l’axe des abscisses $ ! #$!" et les droites d’équation 𝑥 = 0 et 𝑥 = 1 est égale à − . " " 25-MATPE4 Page : 2/6 Exercice 2 (5 points) « Dans un triangle non équilatéral, la droite d’Euler est la droite qui passe par les trois points suivants : • le centre du cercle circonscrit à ce triangle (cercle passant par les trois sommets de ce triangle). • le centre de gravité de ce triangle situé à l’intersection des médianes de ce triangle. • l’orthocentre de ce triangle situé à l’intersection des hauteurs de ce triangle ». Le but de l’exercice est d’étudier un exemple de droite d’Euler. On considère un cube ABCDEFGH de côté une unité. L’espace est muni du repère orthonormé 4A ; A5555B5⃗ ; 5A5555D5⃗ ; 5A555E5⃗7. On note I le milieu du segment [AB] et J le milieu du segment [BG]. 1. Donner sans justification les coordonnées des points A, B, G, I et J. 2. a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AJ). ! ! 𝑥 = + 𝑡 " " b) Montrer qu’une représentation paramétrique de la droite (IG) est : ! avec 𝑡 ∈ 𝐑 . 𝑦 = 𝑡 𝑧 = 𝑡 % ! ! c) Démontrer que les droites (AJ) et (IG) sont sécantes en un point S de coordonnées S " ; ; $. # # # 3. a) Montrer que le vecteur 𝑛5⃗ (0;−1;1) est normal au plan (ABG). b) En déduire une équation cartésienne du plan (ABG). c) On admet qu’une représentation paramétrique de la droite