Sujet Mathématiques — Terminale — Centres étrangers 2 — Bac 2025

Exercice 1 (6 point s) On se propose de comparer l’évolution d’une population animale dans deux milieux distincts A et B. Au 1er janvier 2025, on introduit 6 000 individus dans chacun des milieux A et B. Partie A Dans cette partie, on étudie l’évolution de la population dans le milieu A. On suppose que dans ce milieu, l’évolution de la population est modélisée par une suite géométrique (𝑢 ) de premier terme 𝑢 = 6 et de raison 0,93. Pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢 𝑛 0 𝑛 représente la population au 1er janvier de l’année 2025+𝑛, exprimée en millier d’individus. 1. Donner, selon ce modèle, la population au 1er janvier 2026. 2. Pour tout entier naturel 𝑛, exprimer 𝑢 en fonction de 𝑛. 𝑛 3. Déterminer la limite de la suite (𝑢 ). 𝑛 Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice. Partie B Dans cette partie, on étudie l’évolution de la population dans le milieu B. On suppose que dans ce milieu, l’évolution de la population est modélisée par la suite (𝑣 ) 𝑛 définie par 𝑣 = 6 et pour tout entier naturel 𝑛, 𝑣 = −0,05𝑣 ²+1,1𝑣 . 0 𝑛+1 𝑛 𝑛 Pour tout entier naturel 𝑛, 𝑣 représente la population au 1er janvier de l’année 2025+𝑛, 𝑛 exprimée en millier d’individus. 1. Donner, selon ce modèle, la population au 1er janvier 2026. Soit 𝑓 la fonction définie sur l’intervalle [0;+∞[ par 𝑓(𝑥) = −0,05𝑥²+1,1𝑥. 2. Démontrer que la fonction 𝑓 est croissante sur l’intervalle [0;11]. 3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel 𝑛, on a 2 ≤ 𝑣 ≤ 𝑣 ≤ 6. 𝑛+1 𝑛 4. En déduire que la suite (𝑣 ) est convergente vers une limite ℓ. 𝑛 5. a. Justifier que la limite ℓ vérifie 𝑓(ℓ) = ℓ puis en déduire la valeur de ℓ. b. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice. Partie C Cette partie a pour but de comparer l’évolution de la population dans les deux milieux. 1. En résolvant une inéquation, déterminer l’année à partir de laquelle la population du milieu A sera strictement inférieure à 3 000 individus. 2. À l’aide de la calculatrice, déterminer l’année à partir de laquelle la population du milieu B sera strictement inférieure à 3 000 individus. 3. Justifier qu’à partir d’une certaine année, la population du milieu B dépassera la population du milieu A. n = 0 4.