Sujet Mathématiques — Terminale — Métropole — Bac 2025

Exercice 1 : (5 points) Partie A On considère l’équation différentielle (𝐸) : 𝑦& +0,4𝑦 = e-.,/0 où 𝑦 est une fonction de la variable réelle 𝑡. On cherche l’ensemble des fonctions définies et dérivables sur R qui sont solutions de cette équation. 1. Soit 𝑢 la fonction définie sur R par : 𝑢(𝑡) = 𝑡e-.,/0 Vérifier que 𝑢 est solution de (𝐸). 2. Soit 𝑓 une fonction définie et dérivable sur R. On note 𝑔 la fonction définie sur R par : 𝑔(𝑡) = 𝑓(𝑡)−𝑢(𝑡) Soit (𝐻) l’équation différentielle 𝑦& +0,4𝑦 = 0 a. Démontrer que si la fonction 𝑔 est solution de l’équation différentielle (𝐻) alors la fonction 𝑓 est solution de l’équation différentielle (𝐸). On admettra que la réciproque est vraie. b. Résoudre l’équation différentielle (𝐻). c. En déduire les solutions de (𝐸). d. Déterminer la solution 𝑓 de (𝐸) telle que 𝑓(0) = 1. 25-MATJ1ME3 Page 2/9 Partie B On s’intéresse à la glycémie chez une personne venant de prendre un repas. -1 La glycémie en g.L , en fonction du temps 𝑡, exprimé en heure, écoulé depuis la fin du repas, est modélisée par la fonction 𝑓 définie sur [0 ;6] par : 𝑓(𝑡) = (𝑡 + 1)e-.,/0 1. a. Montrer que, pour tout 𝑡 ∈ [0 ;6], 𝑓&(𝑡) = (−0,4𝑡+0,6)e-.,/0 . b. Étudier les variations de 𝑓 sur [0 ;6] puis dresser son tableau de variations sur cet intervalle. -1 2. Une personne est en hypoglycémie lorsque sa glycémie est inférieure à 0,7 g.L . a. Démontrer que sur l’intervalle [0 ;6] l’équation 𝑓(𝑡) = 0,7 admet une unique solution que l’on notera 𝛼. b. Au bout de combien de temps après avoir pris son repas cette personne est- elle en hypoglycémie ? On exprimera ce temps à la minute près. -1 3. On souhaite déterminer la glycémie moyenne en g.L chez cette personne lors des six heures qui suivent le repas. a. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que : A @ 𝑓(𝑡)d𝑡 = −23,75e-F,/ +8,75 . -1 b. Calculer la glycémie moyenne en g.L chez cette personne lors des six heures qui suivent le repas. c. En remarquant que la fonction 𝑓 est solution de l’équation différentielle (𝐸), expliquer comment on aurait pu obtenir ce résultat autrement. 25-MATJ1ME3 Page 3/9 Exercice 2 : (5 points) On considère le cube ABCDEFGH. On place le point M tel que BQQQQMQQ⃗ = AQQQQBQ⃗. Partie