Sujet Mathématiques — Terminale — Polynésie — Bac 2025

Exercice 1. (5 points) Une équipe américaine a cartographié pour la première fois les allergies alimentaires chez l'enfant aux États-Unis en 2020. L'étude, publiée dans la revue Clinical Pediatrics, révèle une différence nette entre les zones rurales et les zones urbaines. On sait qu’en 2020, 17 % de la population des États-Unis habite en zone rurale et 83 % en zone urbaine. L’étude menée montre que parmi les enfants des États-Unis vivant en zone rurale, il y en a 6,2 % qui sont atteints d’allergie alimentaire. Pour un événement 𝐸 quelconque, on note 𝑃(𝐸) sa probabilité et 𝐸̅ son événement contraire. Sauf mention contraire, les probabilités seront données sous forme exacte. Partie A. On interroge au hasard un enfant dans la population des États-Unis et on note :  𝑅 L’événement : « l’enfant interrogé habite en zone rurale » ;  𝐴 L’événement : « l’enfant interrogé est atteint d’allergie alimentaire ». 1. Traduire cette situation à l’aide d’un arbre de probabilité. Cet arbre pourra être complété par la suite. 2. a. Calculer la probabilité que l’enfant interrogé habite en zone rurale et soit atteint d’allergie alimentaire. b. En déduire la probabilité que l’enfant interrogé habite en zone urbaine et soit atteint d’allergie alimentaire. c. L’enfant interrogé habite en zone urbaine. Quelle est la probabilité qu’il soit atteint d’allergie alimentaire ? Arrondir le résultat à 10−4. Partie B. L’étude révèle aussi que 9 % des enfants des États-Unis sont atteints d’allergie alimentaire. On réalise une étude en interrogeant au hasard 100 enfants des États-Unis. On admet que ce choix se ramène à des tirages successifs indépendants avec remise. On note 𝑋 la variable aléatoire donnant le nombre d’enfants atteints d’allergie alimentaire dans l’échantillon considéré. 1. Justifier que la variable aléatoire 𝑋 suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 2. Quelle est la probabilité qu’au moins 10 enfants parmi les 100 interrogés soient atteints d’allergie alimentaire ? Arrondir le résultat à 10−4. 25-MATJ1PO1 Page : 2/9 Partie C. On s’intéresse à un échantillon de 20 enfants atteints d’allergie alimentaire choisis au hasard. L’âge d’apparition des premiers symptômes allergiques de ces 20 enfants est modélisé par les variables aléatoires 𝐴 ,𝐴 ,…,𝐴 . On admet que ces variables aléatoires sont 1 2 20 indépendantes et suivent la même loi d’espérance 4 et de variance 2,25. On considère la variable aléatoire : 𝐴 +𝐴 +⋯+𝐴 1 2 20 𝑀 =