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Exercice 1. (5 points) Dans tout l’exercice, les probabilite s seront, si ne cessaire, arrondies a 10−3 pre s. Une donne e binaire est une donne e qui ne peut prendre que deux valeurs : 0 ou 1. Une donne e de ce type est transmise successivement d’une machine a
Exercice 1. (5 points) Dans tout l’exercice, les probabilite s seront, si ne cessaire, arrondies a 10−3 pre s. Une donne e binaire est une donne e qui ne peut prendre que deux valeurs : 0 ou 1. Une donne e de ce type est transmise successivement d’une machine a une autre. Chaque machine transmet la donne e reçue soit de manie re fide le, c’est-a -dire en transmettant l’information telle qu’elle l’a reçue (1 devient 1 et 0 devient 0), soit de façon contraire (1 devient 0 et 0 devient 1). La transmission est fide le dans 90% des cas, et donc contraire dans 10% des cas. Dans tout l’exercice, la premie re machine reçoit toujours la valeur 1. Partie A Pour tout entier naturel 𝑛 ≥ 1, on note : 𝑉 l’e ve nement : « la 𝑛-ie me machine de tient la valeur 1 » ; 𝑛 𝑉̅̅̅̅ l’e ve nement : « la 𝑛-ie me machine de tient la valeur 0 ». 𝑛 1. a. Recopier et comple ter l’arbre de probabilite ci-dessous. b. De montrer que 𝑃(𝑉 ) = 0,82 et interpre ter ce re sultat dans le contexte de 3 l’exercice. c. Sachant que la troisie me machine a reçu la valeur 1, calculer la probabilite que la deuxie me machine ait aussi reçu la valeur 1. 2. Pour tout entier naturel 𝑛 ≥ 1, on note 𝑝 = 𝑃(𝑉 ). 𝑛 𝑛 La premie re machine a reçu la valeur 1, on a donc 𝑝 = 1. 1 a. De montrer que pour tout entier naturel 𝑛 ≥ 1 : 𝑝 = 0,8𝑝 +0,1. 𝑛+1 𝑛 b. De montrer par re currence que pour tout entier naturel 𝑛 ≥ 1, 𝑝 = 0,5×0,8𝑛−1 +0,5. 𝑛 c. Calculer la limite de 𝑝 lorsque 𝑛 tend vers l’infini. Interpre ter ce re sultat dans 𝑛 le contexte de l’exercice. 25-MATJ2PO1 Page : 2/6 Partie B Pour mode liser en langage Python la transmission de la donne e binaire de crite en de but d’exercice, on conside re la fonction simulation qui prend en parame tre un entier naturel n qui repre sente le nombre de transmissions re alise es d’une machine a une autre, et qui renvoie la liste des valeurs successives de la donne e binaire. On donne ci-dessous le script incomplet de cette fonction. On rappelle que l’instruction rand() renvoie un